Бұл сабақта белгісіз параметрлердің бағалауларын құру әдістеріне тоқталайық.

белгісіз параметрлеріне тәуелді үлестірім тығыздығымен берілген кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін.

Бағалаулар алудың әртүрлі әдістері бар, олардың ішінде

- моменттер әдісі;

- максималды шындыққа жақындық әдісі;

- графиктік әдіс (немесе номограмма әдісі);

- ең кіші квадраттар әдісі

жиі қолданылады.

Бұл сабақта аталған әдістердің алғашқы үшеуін қарастырамыз.

Моменттер әдісі. Моменттер әдісін ағылшын статисті Kарл Пирсон ұсынған және бұл баға алудың алғашқы жалпы әдістерінің бірі болып табылады.

белгісіз векторлы үлестірім тығыздықты кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған кездейсоқ таңдамасы берілсін. кездейсоқ таңдамасының мәні бойынша белгісіз параметрінің бағалауын алу қажет.

белгісіз параметрлеріне тәуелді үлестірім тығыздығымен берілген кездейсоқ шамасының алғашқы

моменттері бар болсын. шамалары белгісіз параметрлер векторына тәуелді функция болатындығы айқын.

(немесе ) -ші ретті бастапқы (орталық) таңдамалық моменттерді қарастырайық. Алдыңғы сабақтарда айтқандай бастапқы және орталық таңдамалық моменттер сәйкес реттегі теориялық бастапқы және орталық моменттердің орнықты бағалаулары болғандықтан теориялық бастапқы және орталық моменттерін таңдама көлемі айтарлықтай үлкен болған жағдайда сәйкес таңдамалық бастапқы және орталық моменттермен алмастыруға болады.

Моменттер әдісінде белгісіз параметрлер векторының
нүктелі бағалауы есебінде кездейсоқ таңдамасының әрбір жүзеге асырылуында

(2.4.1)

теңдеулер жүйесінің шешімі болатын статистика алынады.

Айталық , яғни скаляр болып, белгісіз параметр саны тек біреу болғанда математикалық күтімі параметріне тәуелді функция болады. Бұл жерде функциясы үзіліссіз және бірмәнді болсын, онда белгісіз параметрі үшін

теңдігіне келеміз. Ары қарай моменттер әдісі бойынша математикалық күтімді таңдамалық орташамен алмастыру арқылы

бағалауы құрылады.

Жалпы жағдайда, қанша белгісіз параметр бар болса, (2.4.1) түріндегі теңдеулер жүйесі сонша теңдеуден тұрады.

Моменттер әдісі бойынша белгісіз параметрді бағалау мысалын 2.15-мысалдан көруге болады.

Әрине моменттері жоқ кездейсоқ таңдамалар үшін моменттер әдісі қолданылмайды.

Ескерту 2.8. Жалпы жағдайда, моменттер әдісінде таңдамалық момент кездейсоқ таңдамаға тәуелді функцияның сәйкес таңдамалық моменттерімен алмастырылады, яғни статистикасы монотонды және үзіліссіз болатын функциясы алынады. Мәселен, белгісіз параметр скаляры болса, онда

Демек, болғанда бұл әдіс белгісіз параметрінің бағалауын анықтауға мүмкіндік беретін (2.4.1) теңдеулер жүйесіне айналады.

функциясын қолданып моменттер әдісі бойынша белгісіз параметрді бағалау мысалын 2.16-мысалдан көруге болады. Белгісіз параметрлік векторын моменттер әдісі бойынша бағалау мысалдары 2.17-2.18- мысалдарында келтірілген.

Моменттер әдісі бойынша алынған бағалаулардың кейбір қасиеттеріне тоқталайық.

Т е о р е м а 2.9. Моменттер әдісі бойынша алынған бағалаулар орнықты бағалау болады.

Максималды шындыққа жақындық әдісі белгісіз параметр бағалауын құрудың тағы бір әдісі болып табылады.

параметріне дейінгі дәлдікпен берілген үлестірімі үшін жоғарыда анықталған шындыққа жақындық атты

функциясы құрылады, мұндағы үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығын, ал дискретті кездейсоқ шама жағдайында оқиғасының ықтималдығын береді. Алдағы уақытта оқулықта кездейсоқ таңдаманың дискретті немесе абсолютті үзіліссіз болуына қарамастан үлестірім тығыздығы деп атала беріледі. Бекітілген үшін шындыққа жақындық функциясы кездейсоқ шама болып табылады.

Сонымен қатар,

функциясы логарифмдік шындыққа жақындық функциясы деп аталады.

Дискретті кездейсоқ шама жағдайында нүктелеріндегі үшін шындыққа жақындық функциясының мәндері таңдамасының мәндерін қабылдау ықтималдықтарына тең. Бұл ықтималдық параметріне сәйкес

=

өзгеріп отырады.

Анықтама 2.14. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған кездейсоқ таңдамасының әрбір мәні үшін

шартын қанағаттандыратын статистикасы параметрінің максималды шындыққа жақын бағалауы деп аталады.

Егер функциясы параметріне қатысты кездейсоқ таңдамасының кез келген мәнінде дифференциалданса және максимум мәні параметрлік жиынның ішкі нүктесінде қабылданса, онда максималды шындыққа жақындық әдісі бойынша нүктелі бағалау

немесе (2.4.2)

теңдіктерін қанағаттандырады.

функциясы өспелі болуының салдарынан және функцияларының максимумдары беттесіп, бірінші теңдеу оған қарағанда қарапайым шешілетін екінші теңдеуге де алмастырыла береді.

Белгісіз параметр вектор болған жағдайда зерттелінді теңдеу

(2.4.3)

теңдеулер жүйесіне ауысады.

(2.4.2) және (2.4.3) теңдеулері шындыққа жақындық теңдеулері деп аталады.

Максималды шындыққа жақындық әдісімен табылған бағалаулар келесі қасиеттерді қанағаттандырады:

· Максималды шындыққа жақындық әдісімен табылған бағалаулар ығысқан және тиімді болмаулары да мүмкін;

· Егер скаляр белгісіз параметрінің тиімді бағалауы бар болса, онда (2.4.2) шындыққа жақындық теңдеуінің жалғыз ғана шешімі бар және ол осы бағалаудың таңдамалық мәні болады;

· Егер белгісіз параметрінің жеткілікті статистикасы бар болса, онда (2.4.2) шындыққа жақындық теңдеуінің шешімі осы бағалаудың таңдамалық мәніне тәуелді функция болады;

· Егер белгісіз параметрінің Рао-Крамер бойынша тиімді бағалауы бар болса, онда (2.4.2) шындыққа жақындық теңдеуінің шешімі жеткілікті статистиканың таңдамалық мәніне тәуелді функция болады;

Шындыққа жақындық әдісі бойынша белгісіз параметрді бағалау мысалдары 2.19-2.21 мысалдарында келтірілген.

Графиктік немесе номограмма әдісі – үлестірім функциялы кездейсоқ шаманың белгісіз параметрлерін графиктік әдіспен жуықтау әдісі. Бұнда теңдеулер жиыны белгілі бір сызықты емес түрлендіруі арқылы түріндегі сызықты теңдеуге ауысады, артынша таңдамасының мәні арқылы үлестірім функциясының эмпирикалық үлестірім функциясы құрылады.

Егер функциясына қолданылатын түрлендірулері негізінде нүктелері белгілі бір түзудің бойында шоғырланса, онда үлестірімдер жиынының дұрыс таңдалғанын білдіреді. Бұл жағдайда және параметрлерінің бағалауларын табу мәселесіне келеміз.