Анықтамаға сәйкес кездейсоқ таңдаманың кез келген өлшемді функциясы белгісіз параметрдің бағалауы болғандықтан олар әртүрлі болып келеді. Бұл бағалауларды қалай салыстыруға болады? «Жақсы» деген бағалау көрсеткіші қандай болуы керек? Әрине, бағалаудың жақсы болуы оның белгісіз параметрге белгілі бір мағынада жақындығы арқылы сипатталады. Осы сабақта бағалауларды салыстырудың әртүрлі әдістері талқыланады.

Анықтама 2.4. параметрлі статистикалық модельдегі белгісіз параметрлі үлестірім заңымен берілген кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы мен ондағы белгісіз параметрінің бағалауы берілсін.

шамасы параметрінің бағалауының орташа квадраттық қателігі деп аталады.

Бағалаудың орташа квадраттық қателігі үшін

теңдігі орындалады. Мұндағы

Егер белгісіз параметрінің бағалауы ығыспаған болса, яғни теңдігі орындалса, онда оның орташа квадраттық қателігі сол бағалаудың дисперсиясына тең болады

белгісіз параметрінің және екі ығыспаған бағалаулары берілсін. Егер кез келген бекітілген мен үшін дисперсиялары және келесі теңсіздікті қанағаттандырса

,

онда және статистикалары арасынан статистикасын таңдаған дұрыс. Өйткені статистикасының параметрінен ауытқуы статистикасының параметрінен ауытқуынан аспайды.

Анықтама 2.5. параметрлі статистикалық модельдегі белгісіз параметрлі үлестірім заңымен берілген кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы мен ондағы белгісіз параметрінің бағалауы берілсін. Егер кез келген параметрі мен бағалаулар жиынында жататын әрбір бағалауы үшін

теңсіздігі орындалса, онда бағалауы берілген бағалаулар жиындағы тиімді бағалау деп аталады.

Т е о р е м а 2.3. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. Дисперсиясы бар болатын кездейсоқ шамасының математикалық күтімінің

таңдамалық орташа түріндегі бағалауы сызықты бағалаулар жиынында тиімді бағалау болады.

Теореманың дәлелдеуін параметр бағасының сызықты бағалаулар жиынында тиімді болатындығының бір мысалы ретінде берейік.

бағалауының бағалаулар жиынында тиімділігін көрсетейік. Жиыннан алынған бағалауының дисперсиясын қаратырайық. Дисперсияның жоғарыда пайдаланған қасиеттірін тағы да қолданып,

теңдіктер тізбесін аламыз.

функциясын шарты орындалғандағы бойынша минимумға зерттейік. Бұл есеп тұрақты болғандықтан

функциясының шарты орындалғандағы бойынша минимумға зерттеу есебіне пара-пар. Көп айнымалылы функцияның шартты экстремумын табудағы белгілі Лагранж көбейткіштер әдісі бойынша

түріндегі Лагранж функциясын құрып, айнымалылы функцияны локалды экстремумға зерттейік, онда

Ары қарай, осы жүйені шешсек, табылған , мәндері функциясының кризистік нүктесі болып табылады және көп айнымалылы функцияның экстремум нүктелерін болуының жеткілікті шарты бойынша шартты минимум нүктесі болады. Демек, бағалауларының ішінде дисперсиясы ең азы болатындығын көреміз, яғни ол осы бағалаулар жиынында тиімді бағалау болады.

Т е о р е м а 2.4 (тиімді бағалаудың жалғыздығы туралы теорема). параметрлі статистикалық модельдегі белгісіз параметрінің екі және бағалаулары тиімді болса, онда бұл екі бағалау 1-ге тең ықтималдықпен беттеседі, яғни

Ескерту 2.1. Ығыспаған барлық бағалаулар жиында тиімді бағалау дегеннің орнына әрі қарай қысқаша тиімді бағалау деген атауды қолданамыз.

Әдетте ығыспаған бағалауларды қарастырумен шектеледі. Бұл жағдайларда жақсы баға құру критерийлерінде дисперсияны қолданатын арнайы теория да құрылады. Алайда, кейде параметр үшін ығыспаған бағалауды табу мүмкін емес не табылған жағдайда практикалық тұрғыдан пайдасыз болуынан бағалаудың ығыспағандығы бұл жағдайда қатаң талап деп есептелінеді.

Бұл айтылғандарды 2.4-2.5 мысалдары растайды. Демек, тек ығыспаған бағалауларды қарастырумен шектелмей, ығыспаған, бірақ дисперсиясы айтарлықтай үлкен бағалау орнына ығысу шамасы да, орташа квадраттық қателігі де қажеттілігіне қарай аз бағалаумен алмастырған тиімді болып жатады (2.6 мысалын қараңыз).

Барлық бағалаулар жиынынан ең тиімдісін табу мүмкін бола бермейді, бірақ қандай да бір көрсеткіштері бойынша барлық бағалауларды топтастыру арқылы сол топтастырудан шыққан бағалаулар жиындарының ішінен ең тиімдісін табуға болады. Кейде бұндай топтастырулардан шыққан бағалаулар жиындарын бағалаулар класы деп те атайды.

белгісіз параметрінің және екі бағалаулары берілсін. Егер кез келген бекітілген мен үшін және орташа квадраттық қателіктері

теңсіздікті қанағаттандырса, онда және статистикалары арасынан статистикасын таңдаған дұрыс. Өйткені статистикасының параметрінен ауытқуының орташа квадраттық қателігі статистикасының параметрінен ауытқуының орташа квадраттық қателігінен аспайды. Бұл жағдайда белгісіз параметрінің бағасы бағасына қарағанда орташа квадраттық қателік мағынасында тиімді деп аталады.

Анықтама 2.6 Егер әрбір үшін оның орташа квадраттық қателіктері ақырлы болатын ығыспаған бағалаулары жиынының қандай да бір класында бекітілген бағалауының орташа квадраттық қателігі осы класта жататын әрбір бағалауының орташа квадраттық қателігінен аспаса, яғни әрбір бағалауы үшін

теңсіздігі орындалса, онда бағалауы осы класстағы орташа квадраттық қателік мағынасында тиімді бағалау деп аталады.

Кей жағдайларда параметрінің өзін емес, сол параметрге тәуелді функциясын бағалау қажет болып жатады. функциясының бағалауы үшін теңдігі орындалған жағдайда бағалауы ығыспаған бағалау деп аталады.

Алда параметрлі модельдерді қарастыру барысында параметрге тәуелді интегралдар астындағы өрнекті параметр бойынша дифференциалдау, интегралдау мен дифференциалдау ретін өзгерту амалдары қолданылады. Осы амалдардың орындалуын қамтамасыз ететін модельдер регулярлы модельдер деп аталады. Модельдердің регулярлық болу шарттары қажетінше әрбір жағдайда жеке анықталады. Модельдің регулярлы болуын қамтамасыз ететін бір шарттың мысалын келтірейік. Мәселен, тығыздығымен берілген параметрлі статистикалық моделі және әрбір элементі тығыздығымен үлестірілген таңдамасы берілсін. Барлық үшін орындалатын жиыны параметрлі үлестірімдер жүйесінің тірегі деп аталады.

Әрбір үшін функциясы барлық θ ∈ Θ нүктелерінде θ параметріне қатысты үзіліссіз дифференциалданатындай параметрлі үлестірімдер жүйесінің С тірегінің бар болуы регулярлы модель болу шартын қамтамасыз етеді.

Регулярлы модель болудың тағы да бір шарттарын беру үшін келесі ұғымдарды анықтайық.

Анықтама 2.7. Үзіліссіз болғанда тығыздығымен, ал дискретті болғанда ықтималдықтарымен берілген кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін.

Егер кездейсоқ шамасы үзіліссіз болса, онда оның үлестірім тығыздығы арқылы

түрінде, егер кездейсоқ шама дискретті болса, онда

түрінде анықталған функция шындыққа жақындық функциясы деп аталады. үзіліссіз болған жағдайда функциясы векторының үлестірім тығыздығы болып табылады.

Анықтама 2.8. Үзіліссіз болғанда тығыздығымен, ал дискретті болғанда ықтималдықтарымен берілген кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. функциясы логарифмдік шындыққа жақындық функциясы деп аталады.

Анықтама 2.9. параметрлі статистикалық моделі берілсін. Егер

1) Әрбір және әрбір таңдамасы үшін шындыққа жақындық функциясы параметрі бойынша дифференциалданса,

2) Кез келген өлшемді жиыны үшін

теңдігі орындалса, онда параметрлік модель регулярлы параметрлік модель деп аталады.

Келесі екі шартты регулярлық шарттар деп атайды:

1-шарт. Әрбір үшін функциясы параметріне қатысты барлық жиынында үзіліссіз дифференциалданатындай үлестірімдер жүйесінің тірегі болатын жиыны табылады.

2-шарт. Барлық нүктелерінде оң мәнді және бойынша үзіліссіз Фишер ақпарат көлемі атты

функциясы бар.

Регулярлы және регулярлы емес үлестірімдер класстарының мысалдары сәйкесінше 2.7, 2.8 мысалдарында келтірілген.

Ескерту 2.2. функциясының үзіліссіз дифференциалдану шартын функциясының үзіліссіз дифференциалдану шартымен алмастыруға болады.

Теорема 2.5 және Теорема 2.6 сәйкесінше ығыспаған және ығысқан бағалаулары үшін Рао-Крамер деп аталатын теңсіздіктерін береді.

Т е о р е м а 2.5 (Рао-Крамер теңсіздігі). Егер бағалауы параметрлі регулярлы модельдегі белгісіз параметрінің ығыспаған бағалауы болса, онда

теңсіздігі орындалады, мұндағы

шамасы бір бақылаудағы Фишер бойынша мәлімет көлемі, бас жиынтықты туындатушы кездейсоқ шамасы үзіліссіз болған жағдайда үлестірім тығыздығы, дискретті болған жағдайында оқиғасының ықтималдығы алынады.

Т е о р е м а 2.6 (Рао-Крамер теңсіздігі). бағалауы параметрлі регулярлы модельдегі белгісіз параметрінің ығысуы жиынының кез келген компактында дисперсиясы бар болатын бағалауы болсын, онда

яғни

теңсіздігі орындалады.

Анықтама 2.10. Белгісіз параметріне тәуелді үлестірімді кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін, онда

шамасы Рао-Крамер бойынша тиімділік көрсеткіші деп аталады.

параметрінің кез келген ығыспаған бағалауы үшін теңсіздіктері орындалады.

Анықтама 2.11. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы белгісіз параметріне тәуелді үлестірім функциясымен берілсін, егер параметрдің ығыспаған бағалауы үшін теңдігі орындалса, онда бұл бағалау Рао-Крамер бойынша тиімді бағалау деп аталады.

Ескерту 2.3. Бағалау Рао-Крамер бойынша тиімді екендігін білдіретін

теңдігі

теңдігі орындалғанда және тек сонда ғана орындалады.

Бұл теңдік регулярлы модель үшін тиімді болу критерийі. Сонымен қатар теңдігі орындалады.

Ескерту 2.4. Қарастырылатын регулярлы модель үшін Рао-Крамердің тиімді бағалауы дисперсиясы ең кіші бағалау ретінде тиімді бағалау болып табылады. Кері тұжырым әрқашан орындала бермейді.

2.2-кестеде кейбір үлестірімдер мысалында белгісіз параметр бағасы, дисперсиясы және бір бақылаудағы Фишер бойынша ақпарат көлемі келтірілген.

Кесте 2.2

Модель
Дисперсиясы белгілі, бірақ математикалық күтімі белгісіз нормал заңы бойынша үлестірілген
Дисперсиясы белгілісіз, математикалық күтімі белгілі нормал заңы бойынша үлестірілген
тәжірибе жүргізгенде бір тәжірибедегі ұтыс ықтималдығы белгісіз параметрлі биномиалды заңы бойынша үлестірілген
бір тәжірибе жүргізгендегі ұтыс ықтималдығы белгісіз параметрлі Пуассон заңы бойынша үлестірілген

Рао-Крамер теңсіздігінен шығатын салдарды қарастырайық. үлестірімдер жүйесі регулярлық шарттарын қанағаттандырсын.

Салдар 2.1. Егер , бағалауы үшін Рао-Крамер теңсіздігінде

немесе

теңдігі орындалса, онда бағалауы класында тиімді бағалау болады.

Регулярлы бағалаулар жиынтығындағы Рао-Крамер теңсіздігін теңдікке айналдыратын баға R-тиімді деп те аталады. Олай болса 2.1 салдар ондағы шарттар орындалған жағдайда R-тиімді бағалау тиімді де болады деп оқылады.

2.10, 2.11 мысалдарында сәйкесінше тиімді және тиімді емес бағалаулар мысалдары келтірілген.