Анықтама 1.12. кездейсоқ таңдаманың кез келген функциясын статистика немесе таңдамалық сипаттама деп, таңдамалық сипаттаманың таңдамасы бойынша анықталған мәні таңдамалық мән деп аталады.

Мысалы, келесі функциялар статистика мысалдарын береді:

,

Ескерту 1.2. Статистика белгісіз параметрді анықтауда қолданылғандықтан, кейде «бағалау» деп те аталатын, параметріне тәуелсіз өлшемді функция болады.

Статистика пәннің негізгі мәселесі болып табылатын белгісіз параметрді бағалауға, гипотезаны тексеруге (II-III бөлімдерде қарастырылады), көлемді мәліметтерді бір сан арқылы сипаттауға мүмкіндік береді.

Алдыңғы бөлімде таңдамалық үлестірім тығыздығын анықтаған тәрізді эмпирикалық (таңдамалық) үлестірім функциясын да анықтауға болады.

кездейсоқ таңдамасы мен оның

түріндегі түрлендіруі берілсін. Яғни, түрлендіруі әр санына мәні одан кіші болатын кездейсоқ таңдамасының элементтер санын сәйкес қоятын функция болады.

Анықтама 1.13. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін.

функциясы таңдамалық үлестірім функциясы деп аталады.

Берілген анықтамадан кез келген бекітілген үшін функциясы

мәндерінің бірін қабылдайтын, басты жиынтықты туындататын кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының бекітілген нүктесіндегі мәніне тең параметрлі биномиалды заңмен үлестірілген кездейсоқ шама екендігін көреміз.

Анықтама 1.14. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасының мәні – таңдамасы берілсін. Әрбір нақты саны үшін

түрінде анықталған функцияны эмпирикалық үлестірім функциясы деп атайды, мұнда арқылы санынан аспайтын таңдамасының элементтер саны белгіленеді.

Эмпирикалық үлестірім функциясы вариациялық қатардың әр нүктесінде өзгеретін баспалдақты функция болып табылады (1.5-сурет).

1.5-сурет Эмпирикалық үлестірім функциясының графигі

Ал таңдамалық мәндері өзара тең емес болса, онда

эмпирикалық үлестірім функциясы теориялық үлестірім функциясының барлық қасиеттерін сақтайды. Атап айтқанда:

Теорема 1.1. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасының мәні – таңдамасы берілсін. Онда оның эмпирикалық үлестiрiм функциясы келесi қасиеттерге ие:

1. Кез келген нақты саны үшiн

2. кемiмейтiн функция (кез келген нақты сандары үшiн

3.

4. функциясы әр нүктеде оң жақты үзiлiссiз, яғни

эмпирикалық үлестірім функциясын Математикалық статистикада теориялық деп те атайтын басты жиынтықты туындататын кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының статистикалық аналогі деп қабылдауға болады.

Үзіліссіз статистикалық модель және таңдама көлемі айтарлықтай үлкен болғанда мәліметтерді интервалдық статистикалық қатар ретінде қарастырған ыңғайлы.

Т е о р е м а 1.2. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған үлестірімді көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. Кез келген бекітілген нақты саны үшін кездейсоқ шамалар тізбегі шексіздікке ұмтылғанда үлестірім функциясының мәніне ықтималдық бойынша жинақталады.

Т е о р е м а 1.3 (Гливенко-Кателли). кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған үлестірімді көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. Онда оның таңдамалық үлестірім функциясы үшін шамасы таңдама көлемі шексіздікке ұмтылғанда ықтималдық бойынша нөлге ұмтылады:

Таңдамалық сандық моменттер. Ықтималдықтар теориясынан белгілі -шы ретті бастапқы және орталық моменттер немесе олардың дербес жағдайлары болатын математикалық күтім, дисперсиялар математикалық статистикада теориялық немесе басты сандық сипаттамалар деп аталады.

Анықтама 1.15. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған үлестірімді көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін.

кездейсоқ шамасы кездейсоқ таңдамалық -шы ретті бастапқы момент деп аталады.

Кездейсоқ таңдамалық -шы ретті бастапқы моментінің таңдамасындағы мәні таңдамалық -шы ретті бастапқы момент деп аталады.

Анықтама 1.16. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған үлестірімді көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. Бірінші ретті таңдамалық бастапқы момент

кездейсоқ таңдамалық арифметикалық орташа деп аталады да, арқылы белгіленеді.

Кездейсоқ таңдамалық арифметикалық орташасының таңдамасындағы мәні таңдамалық арифметикалық орташа деп аталады.

кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасының мәні – таңдамасы статистикалық қатарымен берілсін. Онда

саны салмақтанған таңдамалық орташа мән деп, мұндағы – -ші элемент салмағы деп аталады.

кездейсоқ таңдамасының мәні статистикалық немесе интервалдық қатар түрінде берілуіне қарай мәндері сәйкесінше статистикалық қатар вариантасының өзіне не интервалдық қатардағы интервалдардың центріне тең болады.

Егер кездейсоқ таңдаманың белгілі бір мәні статистикалық қатармен берілсе, онда таңдамалық арифметикалық орташа мән мен салмақталған арифметикалық орташа мән өзара тең болады, ал интервалдық қатармен берілсе, мәнінің интервал центрі ретінде алынуы жалпы жағдайда олардың тең болуын қамтамасыз ете алмайды.

Таңдамалық орташа мән вариациялық қатардың бір санмен сипатталуы болып табылады. Сонымен қатар, қажетіне қарай, вариациялық қатардың геометриялық, гармоникалық, квадраттық, кубтық орташалары да анықталады, ал олардың қайсысы арқылы таңдама сипатталатындығы зерттелетін мәселеге байланысты анықталады.

Вариациалық қатарды сипаттау үшін таңдамалық орташа мәнмен қатар таңдамалық медиана мен таңдамалық мода қолданылады.

Анықтама 1.17. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасының мәні – таңдамасына сәйкес

вариациалық қатардың дәл ортасында орналасқан мән таңдамалық медиана деп аталады.

Егер таңдама көлемі тақ болса, онда оның медианасы вариациалық қатардың -шы орнында орналасқан

мәніне тең болады.

Ал егер таңдама көлемі жұп болса, онда вариациалық қатардың ортасы және мүшелеріне сай келгендіктен медиана осы сандардың

арифметикалық ортасы түрінде анықталады.

Сонымен,

Интервалдық қатар арқылы берілген статистикалық мәліметтердің таңдамалық медианасын берілген түрде анықтау дәл ортада орналасқан (тақ-жұптығына қарай анықталды) нөмірін анықтағаннан кейін сол нөмірлі таңдама мүшесі жатқан медианалық интервал деп аталатын аралық анықталып, ары қарай мәселе сол аралықта жататын таңдама мәндерінің қайсысын таңдау қажет түрінде туындайды. Әрине, егер таңдама мәндері бірқалыпты таралса, онда интервалдық қатар түрінде берілген статистикалық мәліметтердің медианасы

түрінде анықталады, мұндағы – жинақталған жиілік деп аталатын өзімен қоса барлық оған дейінгі интервалдар жиіліктерінің қосындысына тең шама барлық таңдама көлемінің жартысы немесе жартысынан артық болатын медианалық атты алғашқы интервалдың басы, – медианалық интервалдың бастапқы нүктесіне дейін жинақталған жиілігі (салыстырмалы жиілігі), – медианалық интервалда жатқан таңдама элементтерінің саны (медианалық интервалда жатқан таңдама элементтерінің салыстырмалы жиілігі), – медианалық интервал ұзындығы.

Анықтама 1.18. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасының мәнінде – таңдамасында ең жиі кездесетін сан таңдамалық мода деп аталады.

Таңдама статистикалық қатар түрінде берілгенде мода табу еш есептеуді қажет етпей тек жиілігі ең үлкен вариантаға тең болады.

Ал таңдама интервалдық қатар түрінде берілсе, оның модасы

түрінде анықталады, мұндағы – модалық интервал (жиілігі ең үлкен болатын интервал) басы, – модалық интервал жиілігі (салыстырмалы жиілігі), – модалық интервал алдындағы интервал жиілігі (салыстырмалы жиілігі), модалық интервалдан кейінгі интервал жиілігі (салыстырмалы жиілігі), – модалық интервал ұзындығы.

Жиіліктері бірдей сандардың әрқайсысы таңдаманың модасы болады.

Орташа мән, мода, медиана вариациалық қатарды бір санмен сипаттағанымен өзгеру ауқымын, яғни вариациясын көрсете алмайды. Оны сипаттайтын қарапайым көрсеткіштің бірі өзгеріс аумағы болып табылады.

Анықтама 1.19. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасының мәні – таңдамасы үшін

саны таңдамалық өзгеріс аумағы деп аталады.

Таңдамалық өзгеріс аумағы таңдама мәндерінің шашырауын жуық мөлшерде сипаттайтын көрсеткіш, вариациясын дұрыс сипатауға мүмкіндік беретін көрсеткіш таңдамаларының орташа мәннен қаншалықты шашырауын білдіретін таңдамалық дисперсия ұғымына көшелік.

Анықтама 1.20. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін.

кездейсоқ шамасы кездейсоқ таңдамалық орташа сызықтық ауытқу деп аталады.

Кездейсоқ таңдамалық орташа сызықтық ауытқуының таңдамасындағы мәні таңдамалық орташа сызықтық ауытқу деп аталады.

Анықтама 1.21. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін.

кездейсоқ шамасы кездейсоқ таңдамалық -шы ретті орталық момент деп аталады.

Кездейсоқ таңдамалық -шы ретті орталық моменттің таңдамасындағы

мәні таңдамалық -шы ретті орталық момент деп аталады.

Анықтама 1.22. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. Екінші ретті кездейсоқ таңдамалық бастапқы момент

кездейсоқ таңдамалық дисперсия деп аталады да, арқылы белгіленеді.

Кездейсоқ таңдамалық дисперсияның таңдамасындағы мәні таңдамалық дисперсия деп аталады.

Анықтама 1.23. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін.

кездейсоқ шамасы кездейсоқ таңдамалық орташа квадраттық ауытқу деп аталады.

Кездейсоқ таңдамалық орташа квадраттық ауытқудың таңдамасындағы мәні таңдамалық дисперсия деп аталады.

Дәл осылайша көпөлшемді басты жиынтықтың таңдамалық сипаттамаларын анықтауға болады.

Анықтама 1.24. кездейсоқ векторымен туындалған басты жиынтықтарынан алынған кездейсоқ таңдамалары берілсін.

кездейсоқ шамасы кездейсоқ таңдамалық корреляциялық момент деп аталады.

Кездейсоқ таңдамалық корреляциялық моменттің таңдамасындағы мәні таңдамалық корреляциялық момент деп аталады.

Анықтама 1.25. Бірлескен үлестірім функциясы болатын кездейсоқ шамаларымен туындалған басты жиынтықтан сәйкесінше алынған кездейсоқ таңдамалары берілсін.

статистикасы кездейсоқ таңдамалық корреляция коэффициенті деп аталады.

Кездейсоқ таңдамалық корреляциялық коэффициентінің таңдамасындағы мәні таңдамаларының таңдамалық корреляция коэффициенті деп аталады.

Анықтама 1.26. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін.

статистикасы кездейсоқ таңдамалық асимметрия коэффициенті деп аталады.

Кездейсоқ таңдамалық асимметрия коэффициентінің таңдамасындағы

мәні таңдамалық асимметрия коэффициенті деп аталады.

Егер таңдамалық асимметрия коэффициенті теріс таңбалы болса, онда ол сол жақты асимметриялы деп, ал оң таңбалы болса, оң жақты асимметриялы деп аталады. Сол жақты асимметрия жағдайында полигонның сол жақ бөлігі, керісінше жағдайда оң жақ бөлігі ұзынырақ болады.

Анықтама 1.27. кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін.

статистикасы кездейсоқ таңдамалық эксцесс немесе доғалдық коэффициенті деп аталады.

Таңдамалалық сандық сипаттамалар таңдама көлемі артқанда сәйкес теориялық сандық сипаттамаға ұмтылады.