Нақты қолданбалы есептерде математикалық статистика әдістерін пайдалану әдетте қарастырылып отырған объект пен процеске қатысты көлемі үлкен статистикалық мәліметтерді сақтау және өңдеумен байланысты.

Айталық, бізде кездейсоқ таңдамасынан таңдамасы алынсын. Бұл таңдамада белгісіз параметрі туралы ақпарат бар. Белгісіз параметр — бір сан (параметр бірөлшемді жағдайында), бірақ параметрі туралы сол ақпаратты сақтау үшін жадыда барлық таңдама элементтерін сақтауымызға тура келеді.

Бұл орайда келесі мәселе туындайды: таңдамада параметр туралы қандай да бір ақпарат жоғалмайтындай етіп, деректер көлемін қысқартуға бола ма?

Сол себепті бұнда статистикалық модель туралы мәліметті жоғалтпай мәлімет көлемін азайту мәселесі туындайды. Осы мәселені қарастыруда жеткілікті статистика ұғымы туындайды. Бұнда мәліметті барынша толық көлемде беретін статистиканың минималды сығылған көлемі алынады. Жеткілікті статистика математикалық статистикада, оның ішінде, бағалау мәселелерінде маңызды рөл атқарады.

Жеткілікті статистика ұғымын 1922 жылы Фишер енгізген.

үлестірімді кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін статистика болсын. Айталық кездейсоқ таңдамасының мәні болатын таңдамасы белгісіз, бірақ бағалауының сол таңдамадағы мәні белгілі болсын.

статистикасы мәнін қабылдағандағы кездейсоқ таңдаманың

шартты үлестірім функциясын қарастырайық. Жалпы жағдайда, әрине, бұл шартты үлестірім функциясы параметріне тәуелді болуы мүмкін.

Анықтама 2.12. үлестірімді кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. Егер әрбір үшін кездейсоқ таңдамасының шартты үлестірім функциясы кез келген -нің мүмкін мәнінде параметріне тәуелсіз болса, онда статистикасы параметрі үшін жеткілікті статистика деп аталады.

Берілген осы анықтамаға сәйкес, айнымалысының бекітілген мәнінде параметрінің өзгеруі кездейсоқ таңдаманың шарты орындалғандағы шартты үлестірім заңына әсер етпейді.

Бұл анықтамадан егер статистикасының мәні белгілі болса, онда әрі қарай таңдаманы жадыда сақтау қажетсіз болатынын көреміз, тіпті оның үлестірімін білу де, өйткені ол параметр туралы ешқандай қосымша ақпарат бермейді. Таңдама бойынша статистикасын есептеп, өзге деректерді алып тастауға болады.

Олай болса, жақсы бағалаулар тек жеткілікті статистикаларға ғана тәуелді болады деп күтіледі.

Жеткілікті статистика анықтамасында шартты үлестірім функциясын кездейсоқ шама дискреттті болған жағдайда шартты ықтималдықпен, ал үзіліссіз болған жағдайда шартты тығыздықпен алмастыруға болады.

Жеткілікті статистика мысалы 2.12-мысалында берілген.

Ескерту 2.5. Үзіліссіз статистикалық модель үшін

дискретті статистикалық модель үшін

болған жағдайда жеткілікті статистикада сәйкесінше шартты үлестірім тығыздығы

мен шартты ықтималдық

параметріне тәуелсіз.

Т е о р е м а 2.6 (Нейман–Фишердің факторизация критерийі). үлестірімді кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. Егер кездейсоқ таңдамасының кез келген мәндерінде шындыққа жақындық функциясының таңдамалық мәні

түрінде жазылса, яғни белгісіз параметріне тәуелсіз көбейткіші мен белгісіз параметріне тәуелді көбейткіші таңдамасына тек статистика арқылы тәуелді болса, онда статистикасы параметріне жеткілікті болады.

2.3-2.4 мысалдарда осы теорема арқылы статистикалар жеткілікті болатындығы көрсетіледі.

Ескерту 2.6. Рао-Крамер бойынша тиімді кез келген параметрінің бағалауы жеткілікті cтатистика болып табылады. Керісінше тұжырым дұрыс бола бермейді, яғни жеткілікті статистика Рао-Крамер бойынша тиімді статистика болмауы мүмкін.

Тиімді және жеткілікті статистикалар арасындағы арақатынасты ашатын кейбір қасиеттерге тоқталайық.

1°. Егер параметрдің тиімді бағалауы бар болса, онда ол жеткілікті статистикаға тәуелді функция болып табылады.

Демек, тиімді бағалау тек жеткілікті бағалау бар болған жағдайда ғана болады. Бірақ жеткілікті бағалау тиімді бағалау болмаған жағдайда да болуы мүмкін. Бұдан тиімді бағалаулар жеткілікті бағалаулар мысалдары да болатынын көреміз.

1° қасиетінен келесідей қорытынды жасауға болады: тиімді бағалауды жеткілікті статистикалар арасынан іздеу қажет.

2°. Егер бағалауы параметрінің жеткілікті бағалауы болса, онда статистикасымен өзара бірмәнді кез келген функция да сондай болады.

Жеткілікті статистиканың көмегімен тиімді бағалауларды табу жеткілікті статистиканың толықтығы ұғымымен байланысты.

Анықтама 2.13. Үлестірім функциясы жүйесінде жатқан кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы мен ондағы белгісіз параметрінің бағалауы берілсін. Егер әрбір және борельдік функциясы үшін теңдігінің орындалуынан ықтималдық бойынша теңдігінің орындалуы шықса, онда статистикасы толық статистика деп аталады.

Ескерту 2.7. Жеткілікті статистиканың 2.12 анықтамасын белгісіз параметр вектор болған жағдайға да таратуға болады. Векторға тәуелді

статистикасы векторының шартты үлестірімі шарты орындалған жағдайында бекітілген () үшін параметріне тәуелсіз болса, онда ол белгісіз параметр үшін жеткілікті деп аталады.

Т е о р е м а 2.7. Үлестірім функциясы жүйесінде жатқан кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы мен ондағы белгісіз параметрінің толық және жеткілікті статистикасы берілсін. Егер ығысуы болатын бағалауы статистикасының функциясы болса, онда ол ығысуы болатын барлық бағалаулар ішінде ең тиімді бағалау болады.

Т е о р е м а 2.8. Үлестірім функциясы жүйесінде жатқан кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. статистикасы жеткілікті статистика болуы үшін белгісіз параметрінің әрбір мәндерінде қатынасы статистикасына ғана тәуелді өлшемді функция, яғни

болуы қажетті және жеткілікті.