Мысал 2.15. белгісіз параметрлі

көрсеткіштік заң бойынша үлестірілген кездейсоқ шамасымен туындалған бас жиынтықтан алынған кездейсоқ таңдамасы берілсін. Моменттер әдісі бойынша белгісіз параметрінің бағалауын құрыңыз.

Шешуі. Көрсеткіштік заң бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық күтімі, яғни бірінші ретті моменті санына тең, онда моменттер әдісіне сәйкес

теңдеуін құрып, бұдан белгісіз параметрінің

түріндегі бағалауын аламыз.

Мысал 2.16. белгісіз параметрлі гамма үлестірімді кездейсоқ шамасымен туындалған бас жиынтықтан алынған кездейсоқ таңдамасы берілсін. Моменттер әдісі бойынша белгісіз параметрінің бағалауын құрыңыз.

Шешуі. Теорияға сәйкес бағаны екі түрлі және функциялары арқылы құрайық.

жағдайында

болып,

теңдігінен

бағасын алсақ, екінші жағдайда

болғандықтан

теңдеуін шешу арқылы моменттер әдісі бойынша белгісіз параметрінің

бағасын аламыз.

Мысал 2.17. белгісіз параметрлі гамма үлестірімді кездейсоқ шамасымен туындалған бас жиынтықтан алынған кездейсоқ таңдамасы берілсін. Моменттер әдісі бойынша белгісіз параметрлерінің бағалауларын құрыңыз.

Шешуі. Гамма үлестірімінің бірінші және екінші моменттері

және

Ары қарай

және

теңдіктерінен нүктелі бағалауларды анықтайық. Соңғы теңдікті түрлендіріп

белгісіз параметрі үшін

бағалауын аламыз. Бұдан параметрі үшін

бағалауы табылады.

Айталық көлемді

| 97 | 101 | 107 | 112 | 115 | 117 | 121 | 125 | 127
| 27 | 51 | 134 | 201 | 257 | 197 | 85 | 31 | 17

статистикалық қатары арқылы берілсін.

Онда

және

Онда және параметрлерінің бағалаулары келесідей:

Мысал 2.1 8. белгісіз параметрлі теріс биномиалды заң бойынша үлестірілген кездейсоқ шамасымен туындалған бас жиынтықтан алынған кездейсоқ таңдамасы берілсін. Моменттер әдісі бойынша белгісіз параметрлерінің бағалауларын құрыңыз.

Шешуі. Теріс биномиалды заң бойынша үлестірілген кездейсоқ шамасының бірінші және екінші моменттері сәйкесінше

және

Мұндағы шамасы кездейсоқ шамасының дисперсиясы. Моменттер әдісі бойынша теориялық математикалық күтімді таңдамалық орташаға, ал теориялық екінші ретті бастапқы моментті бағалауына теңестіру нәтижесінде

және

бағалауларын аламыз.

Мысал 2.19. белгісіз параметрлі Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шамасымен туындалған бас жиынтықтан алынған кездейсоқ таңдамасы берілсін. Шындыққа жақындық әдісі бойынша белгісіз параметрінің бағалауын құрыңыз.

Шешуі. болғандықтан шындыққа жақындық функциясы

түрінде болып, параметрі бойынша дифференциалданғандықтан дербес туындысын нөлге теңестіріп, максимумын іздейміз. Жоғарыдағы ескертуіміз бойынша максимум мәні өзгермейтіндіктен және есептеуді жеңілдететіндіктен шындыққа жақындық функциясы

логарифмдік шындыққа жақындық функциясына алмастырылып, экстремум нүктесі осы функция үшін ізделінеді. Онда

туындысы нүктесінде нөлге теңесіп, екінші ретті дербес туындысы

нүктесінде де теріс болғандықтан максимум нүктесі болады.

Сонымен, бағалауы максималды шындыққа жақындық функциясы болып табылады.

Мысал 2.20. Өлшемді жиынында оқиғаcының пайда болу саны Пуассон үлестірімді кездейсоқ шама арқылы модельденсін. Егер жиынының ауданын деп белгілесек, онда жиынында пайда болатын оқиғалар саны параметрлі Пуассон заңы бойынша үлестіріледі.

Өзара қиылыспайтын облыс қарастырылып, ондағы пайда болған оқиғалар саны анықталасын. Мысалы, оқиғалар аймақтағы белгілі бір өсімдік түрінің саны болуы мүмкін. Тәжірибе нәтижесінде таңдамасы алынсын. Шындыққа жақындық функциясын құрайық

.

Немесе сәйкес логарифмдік шындыққа жақындық функциясы

Бұл функцияның бойынша туындысын алып, нөлге теңестірсек

теңдеуіне келеміз. Бұдан белгісіз параметрінің бағалауы

Мысал 2.21. Вейбулл үлестірімді кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған кездейсоқ таңдамасы берілсін. Сәйкесінше үлестірім тығыздығы

Мұндағы мен үлестірімнің белгісіз параметрлері. Шындыққа жақындық және логарифмдік шындыққа жақындық функцияларын құрайық

және

Енді соңғы функциядан және параметрлері бойынша дербес туындыларын тауып, нөлге теңестіріп, белгісіз параметрлердің

және

бағалауларын аламыз.