Параметрді статистикалық бағалау есебінің мағынасы таңдама алынған басты жиынтықты тудырушы кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының сандық сипаттамаларын жуықтайтын таңдамалық бағалаулар құрудан тұрады.

Алғашқы тарауда таңдамалық сипаттама мен таңдамалық мән анықтамалары берілген еді:

кездейсоқ таңдаманың кез келген өлшемді функциясын, яғни тек кездейсоқ таңдамасына ғана тәуелді кездейсоқ шаманы статистика немесе таңдамалық сипаттама деп, ал кездейсоқ таңдамасының мәніне сәйкес анықталған саны таңдамалық мән деп аталады.

Бұл тарау математикалық статистиканың белгісіз параметрді нүктелі бағалау деп аталатын есебін қамтиды. Нүктелі бағалау есебі басты жиынтықты тудыратын кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының түрі белгілі, бірақ ондағы параметр немесе параметрлер белгісіз болған жағдайда соларды бағалаудан тұрады.

Қандай да бір кездейсоқ шамасына өзгермейтін шарттарда бірнеше рет жүргізілген тәуелсіз бақылауларға сәйкес параметрлі статистикалық моделі қарастырылады. моделіне оның сәйкес тұжырымдары мен қорытындыларының орындалуын қамтамасыз ететін регулярлық атты (нақты анықтамасы келесі сабақтарда беріледі) шарттар қойылады.

параметрлі статистикалық моделінен алынған көлемді таңдамасы берілсін.

Параметрлі статистикалық модель мысалдары:

Кесте 2.1

Басты жиынтықтың үлестірім функциясы | Параметрлі статистикалық модель
белгісіз параметрлі Пуассон заңы бойынша үлестірілген |
белгісіз параметрлі (ұтыс ықтималдығы) Бернулли заңы бойынша үлестірілген |
белгісіз параметрлі (бір тәжірибе жүргізгендегі ұтыс ықтималдығы) биномиалды заңы бойынша үлестірілген |
белгісіз параметрлі (бір тәжірибе жүргізгендегі ұтыс ықтималдығы) теріс биномиалды заңы бойынша үлестірілген |
белгісіз параметрлі (бір тәжірибе жүргізгендегі ұтыс ықтималдығы) геометриялық заң бойынша үлестірілген |
белгісіз параметрлі аралығында бірқалыпты заң бойынша үлестірілген |
екі белгісіз параметрлі аралығында бірқалыпты заң бойынша үлестірілген |
белгісіз параметрлі нормал заң бойынша үлестірілген |

Және бұндай мысалдарды ары қарай да жалғастыра беруге болады.

Әдетте жүргізілетін тәжірибе жайлы қандай да бір мәлімет белгілі болады. Бұл тарауда кездейсоқ таңдама алынатын басты жиынтықты тудыратын кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының түрі анық болғанымен бір немесе бірнеше белгісіз параметрді қамтиды.

Сонымен, ол үшін кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасының таңдамасындағы мәні ізделінді параметрге жуық болатындай статистикасын табу қажет. Кез келген нәтиже үшін параметрдің таңдамалық мәні ретінде қабылдауға болатын дәл осы статистикасы белгісіз параметрінің нүктелі бағалауы деп, ал нүктелі бағалау мәні деп аталады.

белгісіз параметрінің бағалауы әдетте немесе арқылы белгілеуге келісейік. Математикалық күтімнің бірнеше бағалаулары 2.1-мысалында келтірілген.

Демек, белгісіз параметрдің бағалауы ретінде таңдамасына тәуелді кез келген айнымалы өлшемді функцияны алуға болады. Осы орайда қай статистиканы таңдаған дұрыс деген сұрақ туындайды, олардың ішінен жақсысын таңдап алу үшін әртүрлі салыстыру критерийлері беріледі. Критерийлер бағалау мақсатына қарай әртүрлі болуы мүмкін, бірақ қандай да критерий болмасын статистиканың параметрдің теориялық мәніне жақындық өлшеміне негізделіп құрылады. Сонымен қатар, әрбір бағалау таңдама бойынша басты жиынтық параметрлері жайлы қажет ғылыми түсіндірілген қорытындыларды қамтитын 2.1-2.5 анықтамаларын қанағаттандырулары абзал.

Анықтама 2.1. Егер кез келген белгісіз параметрі үшін теңдігі орындалса, яғни кез келген үшін статистиканың математикалық күтімі белгісіз параметрге тең болса, онда статистикасы белгісіз параметрінің ығыспаған бағалауы деп аталады.

теңдігі орындалмаған жағдайда бағалау ығысқан деп аталады да, бұл жағдайда ығысу шамасын береді.

Бағалаудың ығыспағандық шарты параметрлі бағалаудағы жүйелік қателіктің жоқ болуына кепілдік береді. Алайда б ағалаудың ығыспау қасиеті бекітілген таңдамалар көлемі жағдайында орын алуы абзал, бірақ бағалаудың ығысуы таңдама көлемі өскен сайын нөлге ұмтылуы жеткілікті болғандықтан, міндетті емес. Сол себепті, бағалаудың асимптотикалық ығыспауы айтарлықтай қажет қасиет болып табылады.

Анықтама 2.2. Егер кез келген белгісіз параметрі үшін статистикасының математикалық күтімі параметріне таңдамалар көлемі шексіздікке ұмтылғанда жинақталса, яғни шарты орындалса, онда статистикасы параметрінің асимптотикалық ығыспаған бағалауы деп аталады.

Анықтама 2.3. Егер кез келген белгісіз параметрінің статистикасы таңдамалар көлемі шексіздікке ұмтылғанда ықтималдық бойынша параметріне жинақталса , яғни кез келген белгісіз параметрі үшін әрбір саны бойынша

теңдігі орындалса, онда статистикасы белгісіз параметрінің орнықты бағалауы деп аталады. Мұнда және оқу құралы барысында кездейсоқ векторының координаталары белгілі бір элементар оқиғалар жиынында анықталған деп ұйғарылады.

Бағалаудың орнықтылығы, бақылау саны артқан сайын бағалаулар тізбегі белгісіз бір параметрге жуықтайтындығын білдіреді. Бұл қасиеттің орындалмауы оның бағалау ретінде қажетсіздігін береді.

Практикада статистикалық бағалау ығыспағандық, орнықтылық және тиімділік (бағалауларды салыстыруға қатысты келесі параграфта толық анықталатын қасиет) қасиеттерін бір уақытта қанағаттандыра бермейді. Есептеу қарапайымдылығы үшін қажет және мүмкін болған жағдай болған жағдайда қатаң ығыспағандық шартын талап етпей, аз мөлшерде ығысқан бағалаумен алмастырылады.

Кездейсоқ шаманың негізгі сандық сипаттамаларының бірі математикалық күтім мен дисперсия. Олар үшін қандай таңдамалық бағалаулар ығыспағандық, орнықтылық және тиімділік мағынасында дәлірек сипаттайтындығын қарастырайық.

Т е о р е м а 2.1. Дисперсиясы бар болатын кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. кездейсоқ шамасының белгісіз математикалық күтімінің

(2.1)

таңдамалық орташа түріндегі бағалауы ығыспаған, орнықты бағалау болады.

Теореманың дәлелдеуін параметр бағалауының ығыспағандығын және орнықтылығын көрсетудің бір мысалы ретінде берейік.

кездейсоқ таңдамасының элементтері өзара тәуелсіз және барлығы басты жиынтықты тудыратын кездейсоқ шамасының үлестірім функциясымен бірдей үлестірілген кездейсоқ шамалар болғандықтан олардың математикалық күтімдері мен дисперсиялары өзара тең

Алдымен (2.1) бағалауының ығыспағандығын көрсетейік. Кездейсоқ шаманың математикалық күтімінің сызықтық және біртектілік қасиеттерін қолданып, зерттелінді статистиканың математикалық күтімі параметрінің өзіне тең екендігін көреміз

,

яғни теңдігі бағалауының ығыспағандығын береді.

Енді бағалауын орнықтылыққа зерттейік. К ез келген үшін болғанда

түріндегі Чебышевтың екінші теңсіздігін қолданайық. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына теңдігін және тұрақты көбейткіш дисперсия алдына квадраттанып шығу қасиеттерін қолданып,

теңдіктер тізбесіне келеміз. Бұдан

ескеріп, таңдамалар көлемі шексіздікке ұмтылғанда бағалауының ықтималдық бойынша параметріне жинақталатындығын аламыз.

Сонымен, теорема 2.1 толық дәлелденді.

Т е о р е м а 2.2. Дисперсиясы бар болатын кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. кездейсоқ шамасының белгісіз дисперсиясы үшін

таңдамалық дисперсия ығысқан, орнықты бағалау болады.

2.2-мысалында дисперсияның осы бағалауы ығысқандығы көрсетілген.

Тұжырым 2.1. Дисперсиясы бар болатын кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. кездейсоқ шамасының белгісіз дисперсиясы үшін

бағалауы ығыспаған, орнықты бағалау болады және ол түзетілген таңдамалық дисперсия деп аталады.

2.3-мысалында бағалауының дисперсияның ығыспаған бағалауы екендігін көрсетілген. Ондағы бөлшегі Бессель түзеткіші деп аталады. Таңдама көлемі болатын -нің мәндері «аз» болған жағдайда Бессель түзеткіші санынан айтарлықтай өзгеше болады да, артқан сайын санына жылдам ұмтылады. болған жағдайда таңдамалық дисперсия түріндегі бағалау мен түзетілген таңдамалық дисперсия арасында айырмашылық жоқ десе де болады. Және екеуі де дисперсияның орнықты бағалаулары болып табылады.

таңдамалық дисперсиясында таңдамалық орташаны кездейсоқ шаманың теориялық математикалық күтімімен алмастырсақ, онда пайда болған

бағалауы дисперсия үшін ығыспаған бағалау болып табылады.