Мысал 1.1. кездейсоқ шамасы алғашқы ұтыс нөмірін білдіретін геометриялық заң бойынша үлестіріліп, ондағы бір тәжірибе жүргізгендегі ұтыстың орындалу ықтималдығы белгісіз болсын, онда статистикалық модель

түрінде анықталады.

Мысал 1.2. Дисперсиясы белгілі, бірақ орташа мәні белгісіз ( параметрі) нормал заңымен үлестірілген кездейсоқ шамасы берілсін. Онда статистикалық модель кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы арқылы

түрінде беріледі.

Дәл сол үлестіріммен берілген кездейсоқ шама үшін дисперсиясы белгісіз, керісінше орташа мәні белгілі болған жағдайда статистикалық модель

түрінде беріледі.

Ал жоғарыда айтылғандай, егер нормал заңымен үлестірілген кездейсоқ шамасының орташа мәні де (параметр), орташа квадраттық ауытқуы да белгісіз болса параметр), онда статистикалық модель кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы арқылы

түрінде болады.

Мысал 1.3. Жеті рет қайталанған тәуелсіз бақылаудың нәтижесінде кездейсоқ шамасы (мысалы, – Цельсиймен өлшенген ауа температурасы, градуспен өлшенген бұрыш, килограммен өлшенген бастауыш сыныптағы оқушылардың салмағы және т.с.с.)

мәндерін қабылдады.

көлеміндегі таңдама үшін вариациялық қатар

түрінде болады.

Мысал 1.4. Бір тәулік ішінде Астана қаласы тұтынатын су мөлшері (мың тонна өлшемінде) екі апта бойы өлшенді. Әртүрлі факторлар есебінен өзгеріп отыратын көлемді тәжірибе нәтижесінен алынған таңдама

болсын. Мәліметтер үшін статистикалық қатар құрыңыз.

Шешуі. Таңдама мәндерінің ең кішісі ең үлкені болса, өзара тең еместерінің саны – 6 екендігін ескере отырып, әр мәннің кездесу жиілігін анықтау арқылы

| 206 | 207 | 208 | 209 | 210 | 211
| 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 1

статистикалық қатар құрамыз. Статистикалық қатар түрінде берілген статистикалық мәліметтер топтастырылған деп қабылданады. Мәліметтерді топтастыру, әдетте, таңдама көлемі айтарлықтай үлкен болғанда жүргізіледі. Бұдан өзге топтастырудың интервалдарға жіктейтін әдісі де қолданылады.

Мысал 1.5. 1.4-мысалдағы таңдама үшін интервалдық статистикалық қатар құрыңыз.

Шешуі. Алдымен интервалдық-статистикалық қатардағы аралықтар санын анықтайық. Жоғарыда берілген ұсынысқа сәйкес интервалдар саны санынан аз болмау керек, деп алайық, онда әрбір жартылай интервалдың ұзындығы

тең, онда

1 | 2 | 3 | 3 | 4

Таңдама көлемінің аздығына сәйкес екі әдіс нәтижесінің айырмашылықтары аз болғанымен, таңдама көлемі артқан сайын интервалдық әдіс өз тиімділігін көрсетеді.

Мысал 1.6. 1.4 мысалының шартындағы мәліметтер бойынша жиілік полигонын салыңыз.

Шешуі. Таңдаманың статистикалық қатары

| 206 | 207 | 208 | 209 | 210 | 211
| 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 1

түрінде берілген.

Жазықтықта төбелері , яғни , , , , , нүктелері болатын сынық сызық түріндегі жиілік полигонын береді.

Мысал 1.7. Белгілі бір елде 4000 қайырымдылық қорлары тіркелген. Олардың қызметі туралы ақпарат ресми дереккөздерде жарияланып отырады. Олардың бір бөлігі қайырымдылыққа түскен қаражаттың аз мөлшерін жұмысты ұйымдастыру және басқа да әкімшілік қызметтерге жұмсап, өте тиімді қызмет атқарса, басқа бір бөлігі қаражаттың ауқымды бөлігін әкімшілік шығындар мен қаржы жинау жұмыстарына жұмсап, тиімсіз қызмет көрсетеді. 4000 қайырымдылық қорларынан 50 таңдама алынып, олардың жалпы қайырымдылыққа түскен қаражат мөлшерінен ұйымдастыру жұмыстарына бөлінетін қаражат мөлшерінің пайыздық көрсеткіштері

11,2 | 22 | 13 | 9,7 | 9,9 | 10,4 | 11 | 13,2 | 17 | 27
14 | 2,7 | 5,2 | 4,4 | 7,8 | 37 | 28 | 16 | 15 | 21
8,5 | 4,1 | 6,3 | 2,1 | 1,9 | 4,2 | 7,4 | 7,1 | 8 | 8,5
9 | 13 | 15 | 6,5 | 9,3 | 10 | 11 | 2,3 | 41 | 3,5
35 | 17 | 3,4 | 6,5 | 5,3 | 2,8 | 7,4 | 1,9 | 2,8 | 18

түрінде берілген.

Ұйымдастырушылық жұмысқа 20% төмен қаражат жұмсау құпталып, осы жағдайға қайырымдылық қорлардың жұмысы тиімді болып есептеледі. Жоғарыдағы мәліметтер негізінде қайырымдылық қорларының жұмыс тиімділігін сипаттаңыз.

Шешуі. Жұмыс тиімділігін сипаттау үшін гистограмма құрайық. Таңдаманың ең үлкен және ең кіші элементтері сәйкесінше – және Жоғарыда берілген нұсқаулыққа сәйкес жартылай интервалдар санын санынан кем болмайтындай анықтаймыз. Аралықтар санын деп алсақ, жартылай интервалдар ұзындықтары сәйкесінше санына тең болады да, и нтервалдық қатар

|  |  |  | [ |  |
1 7 | 1 6 | 10 | 2 | 2 | 1 | 2

түрінде берілген.

Ал эмпирикалық үлестірім тығыздығы

Таңдама гистограммасы 1.3 суретінде келтірілген

1.3-сурет

Таңдамадағы 43 қор ұйымдастырушылық жұмысқа жалпы қаражаттың % төмен мөлшерде жұмсап, тиімді жұмыс көрсетеді. Қалған 7 қор % жоғары жұмсап, олардың жұмысы тиімсіз деп қабылданады.

Мысал 1.8. Бір топ студенттерінің қысқы семестр бойынша оқу үлгерімінің GPA көрсеткіштері

| 4 | 8 | 3 | 3 | 2

интервалдық қатары түрінде берілген. Таңдаманың эмпирикалық үлестірім тығыздығын және гистограммасын құрыңыз.

Шешуі. Әрбір алынған аралықтың ұзындығы 0,8 тең. Эмпирикалық үлестірім тығыздығы

Ал гистограммасы 1.4 суретінде келтірілген.

1.4-сурет.