Мысал 2.4. белгісіз параметрлі Пуассон заңымен үлестірілген кездейсоқ шамасымен туындалған бір өлшемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. белгісіз параметріне тәуелді фунциясы үшін ығыспаған бағалау құру мүмкін емес екендігін көрсетіңіз.

Шешуі. Қарсы жорып статистикасы параметрлік фунциясының ығыспаған бағалауы болсын делік, демек теңдігі орындалады. Онда кездейсоқ шама түрлендіруінің математикалық күтімі бойынша аралығында жатқан кез келген үшін

немесе

теңдіктері шығады. Соңғы теңдікті қанағаттандыратын және параметріне тәуелсіз бағалауы болмайтындықтан параметрлік фунциясы үшін ығыспаған баға табылмайды.

Мысал 2.5. белгісіз параметрлі геометриялық заңмен үлестірілген кездейсоқ шамасымен туындалған бір өлшемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. Геометриялық модельдегі параметрінің ығыспаған бағалауын құрыңыз.

Шешуі. Бағалаудың ығыспағандық шартынан интервалындағы әрбір үшін

орындалып, бұдан

теңдігіне келеміз. Ары қарай функциясын Маклорен қатарына жіктеу негізінде

теңдігін аламыз. Әрбір үшін алдындағы коэффициенттерін теңестіре отырып, ығыспаған жалғыз баға

түрінде болғанымен бұл статистиканың мәні ізделінді интервалында жатпайтындықтан алынған бағалау практикалық тұрғыдан пайдасыз.

Мысал 2.6. белгісіз параметрлі нормал заңымен үлестірілген кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін. функциясын бағалаңыз.

Шешуі. таңдамалық дисперсиясы үшін екендігі жоғарыда айтылған еді және де дисперсияның ығыспаған бағалауы . Онда

немесе (2.2.1)

Енді түріндегі бағалаулар жиынын қарастырайық. Онда оның математикалық күтімі үшін теңдігі орындалғандықтан қарастырылып отырған бағалаулар жиынынан тиімділік анықтамасына сәйкес жалғыз ғана тиімді бағалау тек жағдайында болады.

бағалауының орташа квадраттық қателігін есептейік

Бұдан және (2.2.1) бойынша

функциясы мәнінде минимум қабылдап, бұл жағдайда орындалады да, ары қарай тағы да (2.2.1) теңдігі бойынша

Сонымен, жағдайында таңдама көлемі артқан сайын азаятын ығысу шамасы бар функциясының ығысқан бағалауы оның ығыспаған бағалауына қарағанда тиімді болатындығын көреміз.

Мысал 2.7 (регулярлы үлестірімдер класының мысалы). Параметрі болатын экспоненциалды үлестірімді қарастырайық. Бұл үлестірімнің тығыздық функциясы төмендегідей

бұдан

болғандықтан оның тірегі ретінде ретінде жиынын алуға болады. Және де кез келген үшін функциясының параметрі бойынша

туындысы бар және ол барлық үшін үзіліссіз.

Енді 2-шартты тексерейік,

теңдігін логарифмдеп, алынған

функциясынан туынды алсақ,

.

теңдігіне келеміз. Онда

болғандықтан Фишер ақпарат көлемі бар және ол оң мәнді барлық үшін үзіліссіз. Демек, 2-шарты орындалады.

Мысал 2.8 (регулярлы емес класс мысалы). Параметрі болатын аралығында бірқалыпты үлестірімді кездейсоқ шамасы берілсін, онда оның ү лестірім тығыздығы

параметрі кез келген оң мәнді қабылдайтындықтан, ешбір шенелген аралық (мысалы, ) бұл үлестірім классы үшін тірек жиын бола алмайды, яғни үлестірімдер регулярлы емес.

Мысал 2.9. Белгісіз параметріне тәуелді нормал заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шамасымен туындалған басты жиынтықтан алынған көлемді кездейсоқ таңдамасы берілсін.

сәйкес үлестірім тығыздығы, ал математикалық күтімі болсын.

бағалауы ығыспаған және Рао-Крамер бойынша тиімді бағалау болатындығын көрсетіңіз.

Шешуі. Зерттелінді бағалау ығыспаған бағалау екендігін көрсетейік

Рао-Крамер бойынша тиімді баға екендігін анықтау мақсатында дисперсиясын есептейік

мұндағы саны ретті орталық момент. Бір бақылаудағы Фишер бойынша мәлімет көлемін анықтайық

нормал модел і үшін . Нәтижесінде

және

яғни нормал модел үшін параметрінің Рао-Крамер бойынша тиімді бағалауы.

Мысал 2.10. белгісіз параметрлі Бернулли заңымен үлестірілген кездейсоқ шамасымен туындалған бас жиынтығынан алынған кездейсоқ таңдамасы берілсін. статистикасы тиімді бағалау болатындығын көрсетіңіз.

Шешуі. 1-ші салдар бойынша бұл бағалау Рао-Крамер теңсіздігін теңдікке айналдыратындықтан ол тиімді бағалау болатындығын көрсетейік.

белгісіз параметрінің ығыспаған бағалауының орташа квадраттық қателігі анықтамасына сәйкес

тең. Бір бақылаудағы Фишер бойынша ақпарат көлемін есептейік

Рао-Крамер теңсіздігінің оң жағы тең болып, бағалауының орташа квадраттық қателігіне тең болады. Демек бұл бағалау R-тиімді, онда 2.1 салдар негізінде эффективті де болады.

Мысал 2.11. белгісіз параметрлі

үлестірім тығыздығымен берілген кездейсоқ шамасымен туындалған бас жиынтығынан алынған кездейсоқ таңдамасы берілсін. Мұндағы гамма-функция.

ығыспаған бағалауы R-тиімді бағалау болмайтындығын көрсетіңіз.

Шешуі. Бағалаудың дисперсиясын есептейік, болсын.

кездейсоқ шамасының математикалық күтімі мен дисперсиясы

Осы теңдіктерді қолданып Фишер бойынша ақпарат көлемін есептесек, онда

Енді

теңдігінің орындалуын тексерейік.

Демек, бағалауы Рао-Крамер теңсіздігін теңдікке айналдырмағандықтан тиімді бағалау болмайды.